《正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 的图象》教案
1.4.1(第三课时) 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 邓城 增城中学 教学目的： 1 理解振幅、周期、频率、初相的定义； 2 理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律; 3 会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的简图 ，明确A、ω和 对函数图象的影响作用； 4.培养学生数形结合的能力。 5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。 教学重点：熟练地对y＝sinx进行振幅、周期和相位变换 。 教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。 教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 复习正弦函数 的图象和性质 教师提出问题，学生回答 为学生认识正弦型函数奠定基础 概念形成及应用举例 通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。 在函数 中，点P旋转一周所需要的时间 ，叫做点P的转动周期。在1秒内，点P转动的周数 ，叫做转动的频率。 与 轴正方向的夹角 叫做初相。 例1画出函数y=2sinx xR；y= sinx xR的图象（简图） 解：画简图，我们用“五点法” ∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在［0，2π］上的简图 列表： x 0 p 2p sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 sinx 0 0 - 0 作图： 利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移 就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝ sinx，x∈R。的简图 (1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) (2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变) 一般地，函数 的值域是 最大值是 ，最小值是 ，由此可知， 的大小，反映曲线 波动幅度的大小。因此 也称为振幅。 引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论： 1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍（纵坐标不变） 2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图 ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换 例4 画出函数y＝3sin(2x＋ )，x∈R的简图 解：(五点法)由T＝ ，得T＝π 列表： x – 2x+ 0 π 2π 3sin(2x+ 0 3 0 –3 0 描点画图： 左移 个单位 这种曲线也可由图象变换得到：即： y＝sinx y＝sin(x＋ ) 纵坐标不变 横坐标变为 倍 y＝sin(2x＋ ) 纵坐标变为3倍 横坐标不变 一般地，函数y＝Asin(ωx＋ )，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到： 先把正弦曲线上所有的点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时)平行移动｜ ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变) 另外，注意一些物理量的概念: A ：称为振幅；T＝ ：称为周期；f＝ ：称为频率； ωx＋ ：称为相位 x＝0时的相位 ，称为初相 评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左( ＞0)或向右( ＜0)平移｜ ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ )的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0),再沿x轴向左( ＞0)或向右( ＜0)平移 个单位，便得y＝sin(ωx＋ )的图象 课堂练习： 1 若将某函数的图象向右平移 以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋ )，则原来的函数表达式为( ) A y＝sin(x＋ ) B y＝sin(x＋ ) C y＝sin(x－ ) D y＝sin(x＋ )－ 答案：A 2 函数y＝3sin(2x＋ )的`图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 ( ) 答案：B A 向右平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标扩大到原来的3倍 B 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标扩大到原来的3倍 C 向右平移 个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的 倍 D 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标缩小到原来的 倍 3.已知函数y＝Asin(ωx＋ )，在同一周期内，当x＝ 时函数取得最大值2，当x＝ 时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( ) A y＝2sin(3x－ ) B y＝2sin(3x＋ ) C y＝2sin( ＋ ) D y＝2sin( － ) 解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点( ，2)和点( ，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有： 解得 答案：B 由y＝Asin(ωx＋ )的图象求其函数式： 一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、 不加限制(如A、ω的正负，角 的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中 小结 平移法过程： 1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。 2.教师提问：通过分析， 对观缆车的旋转有什么影响？ 3.学生回答。 4.教师引导归纳。 函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中 表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 ，称为振动的频率； 称为相位； 时的相位φ称为初相。 5.学生在黑板上利用“五点法”画图。 教师提问：y=2sinx xR和y= sinx xR的图象与 的图象间的关系怎样？ 学生回答：(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) (2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变) 教师提问：一般地 y=Asinx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？ 学生回答：y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
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