函数的图象 篇一
河南省说课大奖赛教案
高中新教村《数学》第一册(下)
§4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质(一)
正弦函数、余弦函数的图象
单位:河南省济源市第一中学
作者:石 明 秀
时间:2000年9月9日
一、教材分析:
本节课是高中新教材《数学》第一册(下)§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》 的第一节,是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上,进一步研究三角函数图象的画法。为今后学习正弦型函数 y=Asin (ωx+φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识的掌握起到了承上启下的作用。
二、学情分析:
在初中学生已经学习过三步作图法(列表,描点、连线)——“描点作图”法,对于函数y=sinx,当x取值时,y的值大都是近似值,加之作图上的误差,很难认识新函数y=sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线,这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y=sinx和y=cosx的图象,学生不会感到困难。
三、教学目标:
依据教学大纲的要求,制订如下三维教学目标:
知识目标是:1.理解几何法作图原理(难点);
2.掌握五点法作图(重点);
3.了解三角函数图象的变换作图。
能力目标是:通过识记正、余弦曲线的形状特征,培养学生分析问题、
解决问题的能力;强化学生"数形结合"的数学思想。
发展目标是:教给学生灵活的思维方法,培养学生的学习兴趣和勇于
探索、勇于创新的精神,提高综合素质。
四、设计理念:
教无定法,贵在得法。诱思探究学科教学论认为:在教学思想上是启发式,在教学过程上是探究式,在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过:教学的艺术不在于传授的本领,而在于激励、唤醒、鼓舞。为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望,让他们既动脑又动手,充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣。采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法;教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法。体现“教师是主导,学生是主体”的教学原则。使学生不但“学会”而且“会学”,并逐步感受到数学的美,产生成就感,从而极大地提高对数学的学习兴趣。也只有这样做,才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。
五、教学程序:
本节课的教学过程设计,主要是从“三性”即“课堂流程的可操作性,知识目标的可接受性,学生主动学习的积极性”考虑的,对整个教学过程作如下安排:
教学程序图如下:
第一部分:导入.先复习以前学过的函数图象的作法——描点法,再让学生观察波动图象演示仪,激起学生的兴趣。指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象。如何作出该曲线呢?
以设问和探索的方式导入新课,创设情境,激发思维,让学生带着问题,有目的地参与下列教学活动。
第二部分:几何法作图。引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线,并进行平移,描点作图。先作出 y=sinx(x∈[0,2π])和y=cosx(x∈[0,2π]的图象,再依据诱导公式一平移图象得出 y=sinx,x∈R的图象。同法得出 y=cosx,x∈R的图象。
第三部分:多媒体展示。教师利用多媒体展示用Flash动画制作的课件,规范作图过程和步骤,统一认识y=sinx(x∈[0,2π])和y=cosx(x∈[0,2π]的图象,在此提醒学生在直角坐标系中,横、纵坐标轴的长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。
第四部分:“五点法”作图。曲线形成后,让学生观察图象的形状特征,分析讨论,提炼出五个关键点,归纳出“五点法”作图步骤。
第五部分:总结。让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标,教师再补充。这样做,会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况,对本节课的教学起到画龙点睛的作用。
如此设计,联系了新旧知识,体现了从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律。在这种螺旋式上升的过程中,学生将通过自己的亲自动手实践,不仅学到本节课的知识,而且还将提高思维水平和认知能力。同时也体现了"教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展"的教学思想。同时在教学过程中配以多媒体课件的展示,图文并茂,简洁明快,充分调动学生的各个感官,使学生学的生动,学的有趣,增大课堂容量,提高课堂效率。
为了突破几何法作图这个难点,制作了多媒体课件,将 y=sinx,x∈R
和 y=cos x,x∈R图象的作法分解为三个问题来解决,降低了难度。通过展示课件,生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程。使原本枯燥地知识变得生动有趣,激发学生的兴趣,调动学生的积极性(通过教学也的确是这样的).及时让学生跟着演示作图,提高学生的动手能力、模仿能力、创造能力。直观的动画,不仅使学生愉快地接受新知识,而且将激发学生的创造性思维和想象力,使学生充分发挥其思维潜能,拓展思维空间。
用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点。第一步设疑:“几何法作图。由于取点个越多,画出的图象也就比较精确,但也较为麻烦。在精确度要求不高的前提下,能否少定一些点,作出其简图呢?”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心,激起学生强烈的求知欲。第二步引导:让学生观察正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]和余弦函数y= cosx,x∈[0,2π]的图象,启发哪些点对决定图象的形状起着关键的作用呢?引导学生寻找出五个关键点。体现教师的主导作用;第三步小结:让学生分组讨论,互相补充,归纳出五点法作图步骤。教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题,然后小结:“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图,对于以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用。这样设计体现了“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法,使学生真正成为教学的主体。
应用:画出下列函数的简图:
(1)y=1+sinx x∈[0,2π];
(2)y=-cosx x∈[0,2π].
解:(1)按五个关键点列表:
利用正弦函数的性质描点画图(如下图).
(2)按五个关键点列表:利用余弦函数的性质描点作图(如下图).
反馈练习:
1.在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[- , ]的简图。通过观察两条曲线,后者经过怎样平行移动就可以得到前者?
2.观察正弦函数和余弦函数,写出满足下列条件的x的区间:
(1)sinx>0 (2)sinx<0 (3)cosx>0 (4)cosx<0
(例题、练习都用课件展示)
本节例题仍选用教材上的例题,但解答除“五点法”之外,又引导学生利用函数图象的平移对称变换来作图。通过一题多解,可帮助学生加深对知识的认知程度,培养灵活的思维方式。学会遇到新问题时,善于调动所学过的旧知识,运用新旧知识间的联系,增强分析问题和解决问题的能力。
反馈练习设计层次分明:练习1为巩固基础知识型,对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换);练习2为提高能力型,是对正(余)弦函数图象的灵活运用,由易到难,体现因材施教重效果,循序渐进促发展的教学理念。
最后师生共同总结,强化数形结合的数学思想,使学生的理论达到发展和升华,能力达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫,提高综合素质。
六、板书设计:(略)
七、布置作业:(略)
函数的图象 篇二
4.10正切函数的图象和性质
第一课时
(一)教学具准备
直尺、投影仪。
(二)教学目标
1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图。
2.掌握正切函数的性质及其应用。
(三)教学过程
1.设置情境
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更好研究其性质,我们首先讨论 的作图。
2.探索研究
师:请同学们回忆一下,我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的。
生:在单位圆上取终边为 (弧度)的角,作出其正弦线 ,设 ,在直角坐标系下作点 ,则点 即为 图像上一点。
师:这位同学讲得非常好,本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像。
(1)用正切线作正切函数图像
师:首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数?
生:∵
∴ 是周期函数, 是它的一个周期。
师:对,我们还可以证明, 是它的最小正周期。类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图像,下面我们利用正切线画出函数 , 的图像。
作法如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系 轴左侧作单位圆。
②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线。
③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份).
④找纵坐标,正切线平移。
⑤连线。
图1
根据正切函数的周期性,我们可以把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 , 且 ( )的图像,并把它叫做正切曲线(如图1).
图2
(2)正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性。
①定义域:
②值域
由正切曲线可以看出,当 小于 ( )且无限亲近于 时, 无限增大,即可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 大于 且无限接近于 , 无限减小,即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说, 可以取任何实数值,但没有最大值、最小值。
因此,正切函数的值域是实数集 .
③周期性
正切函数是周期函数,周期是 .
④奇偶性
∵ ,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点 对称。
⑤单调性
由正切曲线图像可知:正切函数在开区间( , ), 内都是增函数。
(3)例题分析
【例1】求函数 的定义域。
解:令 ,那么函数 的定义域是
由 ,可得
所以函数 的 www.shubaoc.com 定义域是
【例2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:
(1) 与 ;
(2) 与 .
解:(1)∵
又 ∵ ,在 上是增函数
∴
(2)∵
又 ∵ ,函数 , 是增函数,
∴ 即 .
说明:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内,利用 的单调递增性来解决。
3.演练反馈(投影)
(1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是( )
A. B. C. D.与 值有关
(2) 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
① ②
参考答案:
(1)C.注: 与 相邻两点之间距离即为周期长
(2)D.注:由 ,但 ,反之 ,但
(3)①
②
4.总结提炼
(1) 的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得 上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
(2) 性质。
定义域
值域
周期
奇偶性
单调增区间
对称中心
渐近线方程
奇函数
,
(四)板书设计
课题……
1.用正切线作正切函数图像
2.正切函数的性质
例1
例2
演练反馈
总结提炼
函数的图象 篇三
教学目标:
1、培养学生看图识图的能力。
2、在识图过程中,渗透数形结合的数学思想。
3、从不同知识的背景提取的对象,可以使学生认识到数学的广泛应用性。
4、激发学生学习数学的兴趣,培养学生的探索精神
教学重点:培养学生看图识图的能力
教学难点:渗透数形结合的数学思想
教学用具:计算机、投影机
教学方法:谈话法、分组讨论
教学过程:
1、阅读习题13.3的第四题
学生阅读后,老师可以提问学生,分别回答:
下图是北京春季某一天的
2、提出看图说图的重要性
随着计算机的普及,很多软件都可以做到输入解析式后,立刻显示出函数图象来,这样看图、识图就变得相当重要了。从上题就可以看出,图形的表示更直观,一目了然。也便于分析结论。数学不仅有数的一面,也有“形”的一面。美国著名数学家M克莱茵曾指出:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时,它们就相互吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善。”数学具有广泛的应用性,其它学科和日常生活都可以找到应用数学解决问题的例子。
3、为学生提供相对丰富的素材,体会以图识性。
例1、如图所示,A、B两条曲线表示A、B两种物质在不同温度时的相应溶解度,现有未饱和的A、B溶液各一杯,它们的温度都是 .如果不准增加A、B两种溶质,请你想一想,用什么办法能分别把它们变成饱和溶液?
(读题后,可组织学生分组讨论。若学生还没有学习相应的化学知识,老师可以解释一下。一般学生都能理解。关键是学生都从图中看出了什么。既有定量的分析,又能得出定性的规律).
从A、B的溶解度曲线分析,随着温度升高,A物质的溶解度增大很快,而物质B的溶解度变化不大,针对这两种不同的特征,可以采用不同的方法。
如对未饱和的A溶液,可以采用降低温度的使它饱和因为根据A物质的曲线,可以看出,降低温度,物质A的溶解度会迅速减小。
而对B物质来讲,它的溶解度受温度的影响变化不大,要把不饱和溶液变为饱和,就需要用减少溶剂的办法。把溶液加热,使溶剂蒸发掉一些。溶剂逐渐减少到一定程度,不饱和的溶液就会变成饱和的了。
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