本题为高考最后到数第二题，有一定的难度，属于拉分题。
主要考查双曲线的定义，双曲线的标准方程，弦长公式，以及直线与双曲线的位置关系。
通过将题目中的几何条件代数化考验运算求解能力，培养理性思维和数学探索的学科素养。
解题思路
（1）根据双曲线的定义可得点M的轨迹是双曲线的右支，在根据题目中所给的数量关系求解方程即可。
（2）设T（1/2，t），根据题意可知过点T的直线AB，PQ的斜率均存在，且不为0，分别设出直线AB和PQ的方程，将直线AB的方程与C的方程联立，得到XₐXb与Xₐ+Xb的表达式，进而得到｜TA｜·｜TB｜=｜TP｜·｜TQ｜，即可求得结果。
一定注意，点M的轨迹是双曲线的一支，其轨迹方程要标上x的范围。
归纳总结
若A(x₁，y₁)，B（x₂，y₂)是直线y=kx+b(k≠0)上的两点，则｜AB｜=√(1+k²)｜x₁-x₂｜=√1+1/k²｜y₁-y₂｜，称此公式为直线上两点间的距离公式，若A,B是直线与圆锥曲线的交点，则此公式即我们通常所说的弦长公式。注意此公式不仅可以求弦长时可以使用，只要是求两点间的距离都可以使用。